失業保険をもらっている間、少しでもアルバイトをしたら三倍返しと聞きました。なお、この回答は、不正申告を勧めるものではありません。

失業保険、と再就職手当に関して・・・教えて下さい。
すでに来月中旬から就職内定しています。
今月6月30日に会社閉鎖の為、会社都合で退社します。
会社の経理さんからは7月5日郵送で離職票が自宅に届きます。
7月6日朝一番で、ハローワークに失業保険手続きをしに行く予定です。

私は新しい就職先を7月20日から正社員で決まりました。
7月6日にハローワークに失業の認定を受けて、待機期間7日間あったとしても
7月15日から7月19日までの4日間の失業保険は頂けるのでしょうか？
また、ハローワークでみつけず、インターネットでみつけた会社に就職しますが、
再就職手当は頂けるのでしょうか？

ぜひご回答お願いします。
また失業手当を申請に行く日にハローワークさんの方には、就職が7月20日から決まっていますと伝えた方が良いのですか？

既に採用の内定を受けている場合は、失業保険の給付手続きはできません。
ただし、黙っていれば分からないので、何食わぬ顔で手続きをすれば、就業開始までの数日間は失業手当が支給されます。また、会社都合退社の場合は、７日間の待機期間を越えれば、いかなるルートで就職しても再就職手当の受給資格があります。
...とは言うものの、離職時点で内定を受けていたことが発覚したら、これは立派な不正受給になりますので、あまり危ない橋は渡らない方がよろしいかと。

失業保険をもらっている間、少しでもアルバイトをしたら三倍返しと聞きました。一体どこからアルバイトをしたという情報がハローワークに伝わるのですか？

不正受給の発覚経路は次の通りです。
１給料から所得税を引かれた場合
２勤め先の同僚や経営者、知人等からの密告による場合
（ハローワークに通っている失業者の中には密告を趣味にしている人もいるようで、
そんな人に目を付けられるとちょっとしたストーカー行為のように後を付けられバイトなど発見される事もある）
３勤め先から役所へ年初に提出する給与支払報告書による場合
４ハローワークから何らかの電話連絡で家族がうっかりバイトに行っているなど言ってしまう場合
５勤め先で雇用保険加入手続きをしてしまう場合
（雇用保険は週２０時間以上の勤務で加入条件を満たすので、
条件を満たしているのに加入させない経営者は法律違反です）
６ハローワークの実施による事業所調査

不正受給の発覚経路として一番高いのは密告によるものだと考えられます。

失業保険給付中にアルバイトなどをして報酬を受けると申告しますよね。
そこで質問なのですが、

1.申告をすると給付額は減るのですか？
またその基準は？

2.申告をしないとバレた時が怖いのは知ってますが、「働いた」って言うのは、どこから漏れる事が多いんですか？誰か調べてるんですか？

以上、お願いします。

質問１について（雇用保険法１９条）
失業の認定にかかる期間に自己の労働によって収入を得た場合、
収入の１日分に相当する金額から控除額（１３４７円）を控除した金額と基本手当ての日額の合計額を基準に考えます。
基本てあて日額と賃金日額は受給資格者証に書かれています。（個人個人違います）

収入の一日分に相当する額（バイトの給料）－１３４７円＋基本手当日額＝A

①Aが賃金日額の８０％に相当する額を超えないときは、「基本手当日額の全額を支給する」
②Aが賃金日額の８０％に相当する額を超えるときは、（③を除く）該当超える額を基本手当日額から控除した残りの額に基礎日数を乗じて得た額が支給される。（減額支給）
③超過額が基本手当日額以上であるときは、基礎日額分の基本手当ては支給しない。（全額不支給）

つまり、バイトの給料が幾らまでなら満額支給されるかは、ご自身の受給資格者証をみて上の式に代入して事前にチェックすることが出来ます。また、週に４回以上アルバイト（労働・手伝い）をされますと、定職についたものとみなされます。
金額に関わらず、４時間までを「手伝い」４時間以上を「労働」と呼びますので、申告書に記入の際はくれぐれも気をつけて下さい。

質問２について
基本的には、自己申告に基づいています。労働に関しては証明書を提出もしません。（再就職手当てはのぞく）
ただし、ばれた時のペナルティーは重いです。
１．不正に受給した場合、以後の基本手当は支給しない。（ただし、新たに受給資格を取得した場合はのぞく）
２・６ヶ月以下の懲役または、２０万円以下の罰金に科せられます。（←嘘の申告をしたり、命令に従わない場合）
３．不正に受給した手当ては、正味３倍にして返還しなくてはなりません。
なお、この回答は、不正申告を勧めるものではありません。証明書を提出しなくても、仮にペナルティーがなくても、この制度を維持するためには、正直に申告してください。

なるべく早く失業保険を受けたいのですが、病気退職（特定理由離職者）として手続きし、働ける状態になったら受給申請をしたほうが、
ふつうに自己都合退職にする場合の待機期間約3ヶ月より早く受給開始できる可能性がありますか？またその場合何かデメリットはありますか？
ちなみに退職後はおそらく2ヶ月程で就労可能だと今は予測しています。
どなたかご回答よろしくお願い致します。

病気退職による給付制限期間の短縮によるメリットより、「病気退職」という退職理由が再就職にあたっては大きなデメリットになると思います。採用する立場からすると病気が再発し、すぐに退職するのではという懸念をいだくからです。

また、再就職活動で「病気退職」を隠して採用されても、そのことが発覚すれば、履歴詐称で最悪「懲戒解雇」ということも考えられます。